Lectia de matematica:Formule trigonometrice

[b12mihai]

da ai dreptate gothik ,am uitat sa mai scriu formulele tangentei si cotangentei chiar daca pe tot articolu incercam sa-mi demonstrez in minte unele chestii legate de tangenta si apelam de multe ori la formula sin/cos ,chiar te rog mult sa modifici eroarea mea de scriere ,a fost din neatentie ca la o problema azi imi ramasese in gand un modul de sin x definit pe o R cu valori in [0,1] si de acolo am zis ca primitiva e crescatoare etc.Probabil de-asta am scris gresit

Nu-i problema. Doar le-am semnalat . Eu nu am "puterea" de a corecta posturile de pe forum, ca nu am drept de administrator/moderator, asa ca sa le modifice administratorii de pe aici daca pot si au timp.

Mai erau de scris formulele de la unghiul triplu si linearizarea puterilor acestor functii da' era o gramada de scris .Sper sa apuc sa le scriu maine .Daca nu ai pus astea pe site ,nu le pune pana maine sa vin si cu acele formule .Sper ca pana cel tarziu maine seara sa le scriu aici .

Sa imi zici cand ai terminat tot de scris, toate formulele, definitiile etc. Ca sa le pun pe toate intr-un singur articol (sau, ma rog, sa le organizez intr-o serie care sa aibe cat de cat o logica, daca iese articolul prea mare) si ca sa am si eu un scop cand aranjez in pagina. Oricum te felicit pentru rabdarea avuta de a scrie!

[Cromatic]

Lamuriti-ma si pe mine va rog, de ce se alege cercul cu raza 1 atunci cand se vorbeste de functiile trigonometrice iar acest 1 ce reprezinta?- adica are unitate de masura?

[b12mihai]

Lamuriti-ma si pe mine va rog, de ce se alege cercul cu raza 1 atunci cand se vorbeste de functiile trigonometrice iar acest 1 ce reprezinta?- adica are unitate de masura?

Pentru ca sin, cos, tangenta si cotangenta se definesc, in geometria elementara de clasa a saptea-a opta astfel:

Fie un triunghi dreptunghic ABC, cu m(A) = 90 grade. Atunci:

sin x = cateta opusa lui x/ipotenuza
cos x = cateta alaturata lui x/ipotenuza
tg x = cateta opusa lui x/cateta alaturata lui x = sin x / cos x
ctg x = 1/tg x = cos x/sin x = cateta alaturata lui x/cateta opusa lui x.

De asemenea, se poate demonstra usor geometric, dar se poate si arata prin desen, ca mijlocul ipotenuzei triunghiului dreptunghic il constituie centrul cercului circumscris.

Bun. Acum imaginandu-ne cercul trigonometric si axele Ox, Oy (adica reperul cartezian xOy). Cerc = parcurgere de 360 de grade nu? Daca tragem un vector de pozitie al unui punct de pe cerc din centrul O obtinem un unghi. Du si tu o paralela la Oy din acel punct care intersecteaza Ox. Nu cumva ai obtinut un triunghi dreptunghic, cu ipotenuza = raza cercului trigonometric?

Apai ca sa ai EXACT valoarea sinusului acelui unghi, adica lungimea paralelei duse la Oy, trebuie ca raza cercului trigonometric sa fie 1. E o conventie pentru usurinta unor calcule/demonstratii...Plus...gandeste-te altfel...Iti este comod sa masori si raza si lungimea paralelei si sa mai faci si un raport? Sau doar una din ele, stiind sigur valoarea celalalta si nefiind nevoit sa faci nici un raport?

Asta ar fi o explicatie...nu stiu daca e cea mai corecta/cea oficiala.

[Cromatic]

...
De asemenea, se poate demonstra usor geometric, dar se poate si arata prin desen, ca mijlocul ipotenuzei triunghiului dreptunghic il constituie centrul cercului circumscris de unde rezulta ca sin²t sau cateta opusa unghiului + cos²t sau cateta alaturata unghiului=1 cu alte cuvinte teorema lui Pitagora sub forma trigonometrica sau teorema fundamentala a trigonometriei.

E o conventie pentru usurinta unor calcule/demonstratii...Plus...gandeste-te altfel...Iti este comod sa masori si raza si lungimea paralelei si sa mai faci si un raport? Sau doar una din ele, stiind sigur valoarea celalalta si nefiind nevoit sa faci nici un raport?

Asta ar fi o explicatie...nu stiu daca e cea mai corecta/cea oficiala.

Normal, stiam ca functiile trigonometrice se exprima ca rapoarte de laturi ale unui triunghi dreptunghic insa le-am luat ca atare ca pe niste axiome daca vreti si voiam sa inteleg de ce se alege cercul cu raza 1(ma ajuta sa inteleg cum se face interpretarea marimilor variabile in timp in speta, curentul alternativ).
In concluzie, nu stiam ca este o conventie, credeam ca se poate demonstra.Ceea ce  este evident, intr-un triunghi dreptunghic raportul dintre oricare cateta si ipotenuza nu poate sa fie mai mare ca 1 dar daca vorbim de tg. ei bine aici m-am cam incurcat pentru ca daca vorbim de un tr. drept. cu laturile 3,4,5 exista raportul 4/3 pentru tg. care este evident mai mare decat 1 dar poate nu este bun rationamentul meu...

[Adi]

Cromatic, ideea este ca acele relatii sunt valabile oricare ar fi raza cercului, nu doar pentru raza 1. Tocmai in asta sta magia "radianilor" si marimilor trigonometrice. Tine doar de unghiuri, nu de distante. Si atunci, daca tot sunt valabile pentru orice lungime, atunci lucram cu lungimea cea mai usoara, anume 1.

Intr-un cerc de raza R, pe abscisa ai lungimea R ori cos alfa si pe coordonata ai lungimea R ori sin alfa. Dar noi vrem sa vedem vizua, pe figura geometrica, segmentul care are exact lungimea sing alfa si un altul care are exact lungimea cos alfa. Surpriza, daca alegem cercul cu R=1, atunci segmentele din acel triunghi au exact lungimea cos alfa pe orizontala si sin alfa pe verticala!

E un pic mai clar acum?

[mircea_p]

Normal, stiam ca functiile trigonometrice se exprima ca rapoarte de laturi ale unui triunghi dreptunghic insa le-am luat ca atare ca pe niste axiome daca vreti

Nu sant axiome ci definitii. Bineinteles, bazate pe proprietatea ca raportul laturilor unui triunghi depinde numai de unghiuri si nu de marimea triunghiului, ceea ce este o teorema (demonstrata pe baza axiomelor).  

In concluzie, nu stiam ca este o conventie, credeam ca se poate demonstra.Ceea ce  este evident, intr-un triunghi dreptunghic raportul dintre oricare cateta si ipotenuza nu poate sa fie mai mare ca 1 dar daca vorbim de tg. ei bine aici m-am cam incurcat pentru ca daca vorbim de un tr. drept. cu laturile 3,4,5 exista raportul 4/3 pentru tg. care este evident mai mare decat 1 dar poate nu este bun rationamentul meu...

Sigur, tangenta are valori in intervalul -infinit la +infinit. Nu e nimic gresit.

[Adi]

Continuand postarea mea, fiindca ai amintit de tangenta si contangenta, acum ca stii sa desenezi un segment cu lungimea strict egala cu cos alfa ori cu sin alfa, poti sa desenezi (pe acelasi desen) un segment cu lungimea strict tangenta de alfa si un altul cu lungimea string cotangenta de alfa? Daca  iintelegi asta, apoi vei vedea si cum acel segment ia usor valoarea de la zero la infinit pe masura ce misti unghiul de la zero la 90 de grade.

[Cromatic]

gothik12, Adi, mircea_p- multumesc baieti pentru raspunsuri, da, acum mi-am clarificat aceasta problema, asta e, unii sunt nevoiti sa aprofundeze cunostinte si la varste mai mari...

[Adi]

Cromatic, ma bucur sa aud ca ti-ai clarificat. Dar m-as bucura si mai mult daca chiar ai face desenul si mi-ai arata pe el segmentul de lungimea tangenta de alfa. Eu stiu sa fac, dar nu sunt convins ca stii sa faci. Si daca nu stii sa faci, chiar pierzi ce e mai frumos si nici nu ai inteles complet. Daca ne arati ca ai incercat si nu ai reusit, te ajutam noi si te vei bucura ca ai acceptat aceasta provocare.

[Cromatic]

Se prelungeste raza cercului pana cand intersecteaza dreapta paralela cu axa Oy(aceasta are punctul de tangenta cu cercul la intersectia cu axa Ox in punctul 1(2pi rad. sau 360 gr.). Daca vorbim de primul cadran atunci segmentul care are ca lungime exact valoarea tangentei unghiului se afla situat pe aceasta dreapta si este delimitat in partea de jos de catre punctul de intersectie  al axei Ox cu dreapta in punctul 1 iar sus punctul de intersectie dintre prelungirea razei si dreapta tangenta la cerc.
Sigur, se poate face analogia si cu tangenta la cerc dusa pe raza atunci cand ea face un anumit unghi cu axa Ox dar este acelasi lucru pentru ca cele doua triunghiuri care se formeaza intr-un caz si celalalt sunt congruente(aici chiar se poate observa din prima ca la 45gr. tangenta are valoarea razei adica 1) dar e mai usor cu paralela la axa Oy pentru ca doar prelungesti raza iar punctul de intersectie cu tangenta delimiteaza segmentul mult asteptat...

[Adi]

Excelent! Chiar apreciez ca ai scris aici. Si intr-adevar confirm ca ai inteles. Si segmentul de lungime  cotangenta de alfa?

[Cromatic]

Cotangenta este paralela la axa Ox iar prin analogie se poate descrie segmentul exact cum am spus si mai sus.

P.S.
Cum sa nu scriu aici, la urma urmei eu am nevoie de voi si nu invers iar interesul meu este sa invat nu sa-mi fur caciula singur, eu nu mai am de dat lucrari de control, teze sau examene ci pur si simplu acum aprofundez notiunile pe care se bazeaza invatarea altora dar care se bazeaza pe acestea.

[Adi]

Felicitari pentru mentalitate, Cromatic!

Ai fi mirat sa vezi cati vin aici doar sa le rezolvam mura in gura, adica sa isi fura singuri caciula. Tu faci bine caci chiar vrei sa inveti si arati asta. Ai ajuns unde trebuie, aici chiar vei fi ajutat.

[Cromatic]

Nu sant axiome ci definitii. Bineinteles, bazate pe proprietatea ca raportul laturilor unui triunghi depinde numai de unghiuri si nu de marimea triunghiului, ceea ce este o teorema (demonstrata pe baza axiomelor).  

Si reciproca ar putea fi valabila.
Asa cum unghiul este variabila independenta iar raportul(functia) este variabila dependenta, de ce nu se poate spune si invers adica prin diverse valori independente ale raportului(adica raportul sa devina variabila independenta) unghiul sa ia valorile corespunzatoare si sa devina variabila dependenta?

De ce functiile trigonometrice se definesc numai in triunghiul dreptunghic?(pentru ca nu inteleg cum calculezi sinusul si cosinusul unui unghi al unui triunghi oarecare-vezi teorema sinusului si a cosinusului intr-un triunghi oarecare desi cunosc cum se demonstreaza aceste 2 teoreme).