Olimpiada judeteana de fizica 2010

[laurentiu]

Subiectele si solutiile olimpiadei judetene de fizica din 16 ianuarie 2010 le gasiti aici: http://www.olimpiade.ro/informatii.php?etapa=2&materie=3&editie=9 (plus unele rezultate din judetele Cluj,Iasi si Dolj).

[Alexandru Rautu]

Îmi place tare mult prima problema propusă pentru clasa a 10-a (cea cu săritura omului). Pentru că în barem soluţia problemei este tratată destul de superficial, m-am decis să aduc o rezolvare a acestea aici:

Să considerăm un model în care omul este înlocuit de un material ca-n figura de mai jos:



Din datele problemei viteza omului în cele trei puncte sunt:

[TeX]A\,:\qquad v_A=\,0[/TeX]
[TeX]B\,:\qquad v_B\,\neq\,0[/TeX]
[TeX]C\,:\qquad v_C=\,0[/TeX]

Pentru că nu avem forţe de frecare în intervalul AB, [TeX]v_B[/TeX] se poate determina uşor din conservarea energiei, i.e.

[TeX]\frac{1}{2}\,m\,v_B^2=\,mgh\qquad\Rightarrow\quad v_B=\sqrt{2gh}[/TeX]

Se observă că pe intervalul BC avem o forţă (s-o numim [TeX]F_r[/TeX]) care se opune mişcării şi opreşte corpul în punctul C. Din legea a doua lui Newton avem că:

[TeX]m\frac{dv}{dt}\,=\,mg\,-\,F_r[/TeX]

Primul termen poate fi rescris ca:

[TeX]m\frac{dv}{dt}\,=m\,\frac{dv}{dh}\,\frac{dh}{dt}=m\,\frac{dv}{dh}\,v=\frac{d}{dh}\left(\frac{1}{2}mv^2\right)[/TeX]

unde am folosit faptul că [TeX]v\,=\,\frac{dh}{dt}[/TeX]. Ecuţia devine:

[TeX]\frac{d}{dh}\left(\frac{1}{2}mv^2\right)\,=\,mg\,-\,F_r[/TeX]

şi integrând între B şi C avem

[TeX]\int^{C}_{B}\,\frac{d}{dh}\left(\frac{1}{2}mv^2\right)\,dh\,=\int^{C}_{B}\,\left (mg\,-\,F_r\,\right )\, dh[/TeX]

de unde

[TeX]\frac{1}{2}\,m\,v_C^2\,-\,\frac{1}{2}\,m\,v_B^2\,=\,\int^{h+\Delta h}_{h}\,mg\,dh\,-\,\int^{C}_{B}\,F_r\, dh\,=\,mg\Delta h\,-\,\int^{C}_{B}\,F_r\, dh[/TeX]

Folosind expresiile pentru [TeX]v_B[/TeX] şi [TeX]v_C[/TeX] avem

[TeX]-mgh\,=\,mg\Delta h\,-\,\int^{C}_{B}\,F_r\, dh[/TeX]

sau

[TeX]mg(h+\Delta h)\,=\,\int^{h+\Delta h}_{h}\,F_r\, dh[/TeX]

Forţa medie (prin definiţie) pe intervalul BC este

[TeX]\overline F_r=\,\frac{1}{\Delta h}\,\int^{h+\Delta h}_{h}\,F_r\, dh[/TeX]

Combinând ultimele două expresii avem ca

[TeX]\overline F_r=\,\frac{1}{\Delta h}\,mg(h+\Delta h)\,=\,mg \left(1\,+\,\frac{h}{\Delta h}\right)[/TeX]


Acum folosind expresia acestei forţe legea lui Newton devine

[TeX]m\frac{dv}{dt}\,=\,mg\,-\,\overline F_r\quad\Rightarrow\quad\frac{dv}{dt}\,=\,g\,-\,\frac{1}{m}\,\overline F_r\,=\,a[/TeX]

unde [TeX]a[/TeX] este acceleraţia corpului pe intervalul BC. Din legea mişcării (sau simplu prin integrarea ecuaţii de mai sus) avem

[TeX]v_C\,=\,V_B\,+\,a\Delta t[/TeX]

care prin înlocuire conduce la rezultatul

[TeX]\Delta t = \Delta h \, \sqrt{\frac{2}{gh}}[/TeX]